100 জন ছাত্র সদস্যের মধ্যে ফুটবল টিম অপেক্ষা ক্রিকেট টিমের সদস্য সংখ্যাই বেশি। যদি ফুটবল সদস্য সংখ্যা 70 জন হয় এবং 20 জন কোন টিমেই না থাকে, তাহলে সর্বনিম্ন কতজন উভয় টিমেরই সদস্য হবে?

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু (Intersection Point) নির্ণয় করার জন্য সরলরেখাগুলির সমীকরণগুলো একসাথে সমাধান করতে হয়। যদি দুটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া থাকে:

• প্রথম রেখার সমীকরণ: \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
• দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

তাহলে এই সমীকরণগুলির সমাধান করার মাধ্যমে তাদের ছেদবিন্দু \( (x, y) \) পাওয়া যায়।

সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি

দুটি সমীকরণ একসাথে সমাধান করতে আমরা বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। নিচে এলিমিনেশন পদ্ধতিতে সমাধান প্রদর্শন করা হলো:

ধাপ ১: \( x \) বা \( y \) প্রতিস্থাপন বা বাদ দিয়ে সমাধান

প্রথমে একটি চলক বাদ দিয়ে অন্য চলকের সমাধান করতে হবে। এজন্য দুই সমীকরণকে এমনভাবে সাজানো হয় যেন একটি চলক বাদ যায়।

উদাহরণ

ধরুন, আমাদের দুটি সমীকরণ আছে:

1. \( 2x + 3y - 5 = 0 \)
2. \( x - 2y + 1 = 0 \)

ধাপ ১: প্রথম সমীকরণ থেকে \( x \) বা \( y \) প্রতিস্থাপন করে সমাধান করা যাক।

প্রথমে, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে \( x \)-এর মান বের করি:
\[
x = 2y - 1
\]

ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে \( x \)-এর মান প্রতিস্থাপন

প্রথম সমীকরণটি হলো:
\[
2(2y - 1) + 3y - 5 = 0
\]

এখন সমাধান করা যাক:
\[
4y - 2 + 3y - 5 = 0
\]
\[
7y - 7 = 0
\]
\[
y = 1
\]

ধাপ ৩: \( y \)-এর মান দিয়ে \( x \)-এর মান নির্ণয়

\( y = 1 \) মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে স্থাপন করি:
\[
x = 2(1) - 1 = 1
\]

ছেদবিন্দু

অতএব, রেখাদুটি \( (1, 1) \) বিন্দুতে ছেদ করেছে।

সাধারণ সূত্র

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যায়, যদি রেখাদুটি সমান্তরাল না হয়:

\[
x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}
\]
\[
y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}
\]

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে যে কোনো দুই সরলরেখার ছেদবিন্দু সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব।